Tranh chấp bồi thường hợp đồng thuê nhà

Có một tình huống như thế này, muốn thảo luận cùng các bạn.

A và B đã thỏa thuận miệng về việc A thuê nhà của B, trong đó có nội dung nếu bên nào tự ý chấm dứt trước thời hạn sẽ phải đền bù. Hôm ký hợp đồng, do B đi vắng nên A đã đưa hợp đồng cho C là con trai của B để nhờ C đưa lại cho B. Sau đó C ký giả chữ ký của B, đưa lại hợp đồng cho A và nhận tiền đặt cọc, tiền thuê nhà 3 tháng của A. A biết việc C ký giả nhưng nghĩ B và C là người nhà nên không có ý kiến gì. C sau khi nhận tiền đã về đưa lại cho B, nói là tiền thuê nhà của A.

Sau đó A sửa chữa nhà của B, làm thành cửa hàng và kinh doanh bình thường. B, C không có ý kiến gì. Sau 3 tháng, B không đồng ý cho A thuê nữa, không trả lại tiền đặt cọc và không chịu bồi thường với lý do hợp đồng không phải do B ký.

Muốn nhà các bạn tư vấn trong trường hợp này B có phải bồi thường theo hợp đồng và bồi thường các chi phí sửa chữa cửa hàng của A hay không? Nếu A muốn khởi kiện yêu cầu bồi thường thì khởi kiện với B hay C?