Theo quy định tại Khoản 1 Điều 15 Luật hộ tịch 2014 thì trách nhiệm đăng ký khai sinh như sau:
"1. Trong thời hạn 60 ngày kể từ ngày sinh con, cha hoặc mẹ có trách nhiệm đăng ký khai sinh cho con; trường hợp cha, mẹ không thể đăng ký khai sinh cho con thì ông hoặc bà hoặc người thân thích khác hoặc cá nhân, tổ chức đang nuôi dưỡng trẻ em có trách nhiệm đăng ký khai sinh cho trẻ em."
Theo đó, khi con bạn sinh ra thì trong thời hạn 60 ngày gia đình có trách nhiệm đăng ký khai sinh cho con. Theo thông tin bạn cung cấp thì vợ chồng bạn chưa đăng ký kết hôn, việc không đăng ký kết hôn không ảnh hưởng gì đến việc đăng ký khai sinh cho con.
Trường hợp cha mẹ không có giấy chứng nhận đăng ký kết hôn vẫn được làm giấy khai sinh có cả tên cha và mẹ trên giấy khai sinh nhưng phải kết hợp với thủ tục nhận con. Trong hồ sơ để làm thủ tục đăng ký nhận con phải có giấy tờ là chứng cứ chứng minh quan hệ cha, mẹ con như văn bản của cơ quan y tế, cơ quan giám định hoặc cơ quan khác có thẩm quyền. Trường hợp không có các văn bản nêu trên thì phải có thư từ, phim, ảnh, băng đĩa, đồ dùng, vật dụng khác chứng minh mối quan hệ và giấy cam đoan của cha, mẹ về việc trẻ là con chung của hai người.
Không có gì là không thể.